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第1章 命题逻辑1

1.1 命题及联结词1

1.1.1 命题及其表示1

1.1.2 命题联结词2

1.2 命题公式与真值表5

1.2.1 命题公式5

1.2.2 命题公式的分类8

1.3 命题公式的范式与主范式9

1.4 联结词的完备集14

1.5 命题逻辑的推理理论17

习题21

第2章 谓词逻辑31

2.1 一阶逻辑基本概念31

2.1.1 个体词31

2.1.2 谓词32

2.1.3 量词33

2.2 谓词公式35

2.2.1 谓词公式的概念35

2.2.2 约束变元与自由变元的概念36

2.2.3 约束变元的换名与自由变元的替换37

2.3 谓词公式的赋值与分类37

2.3.1 谓词公式的赋值37

2.3.2 谓词公式的分类38

2.4 谓词公式的等值演算39

2.5 谓词公式的前束范式40

2.6 谓词演算的推理理论42

2.6.1 推理定律的来源42

2.6.2 推理的实例43

习题45

第3章 集合论50

3.1 集合的基本概念50

3.1.1 集合的表示50

3.1.2 常用符号51

3.2 集合的基本运算51

3.2.1 集合的二元运算51

3.2.2 集合的一元运算52

3.2.3 文氏图53

3.2.4 集合运算的优先级53

3.3 集合恒等式53

3.3.1 运算律53

3.3.2 集合恒等式的证明54

习题56

第4章 二元关系和函数61

4.1 二元关系61

4.1.1 笛卡儿积61

4.1.2 二元关系的概念62

4.1.3 二元关系的表示62

4.2 关系的运算64

4.2.1 二元关系的域64

4.2.2 逆运算65

4.2.3 复合运算65

4.2.4 幂运算67

4.3 关系的性质69

4.3.1 性质的定义69

4.3.2 性质的判定70

4.4 关系的闭包72

4.4.1 闭包的定义72

4.4.2 闭包的生成73

4.5 等价关系与偏序关系77

4.5.1 等价关系77

4.5.2 偏序关系79

4.6 函数81

4.6.1 函数的定义81

4.6.2 函数复合83

4.6.3 逆函数84

4.7 集合的基数85

4.7.1 可数集合85

4.7.2 集合的势87

习题89

第5章 代数系统94

5.1 二元运算及其性质94

5.2 二元运算中的特殊元素95

5.2.1 幺元95

5.2.2 零元96

5.2.3 逆元97

5.3 代数系统98

习题101

第6章 几个典型的代数系统103

6.1 半群与群103

6.2 陪集与拉格朗日定理108

6.3 群的同态与同构112

6.4 循环群与置换群113

6.4.1 循环群113

6.4.2 置换群114

6.5 环和域116

6.5.1 环116

6.5.2 域117

6.6 格与布尔代数118

6.6.1 格与子格118

6.6.2 特殊格119

习题120

第7章 图论基础123

7.1 图的基本概念123

7.2 欧拉图和哈密顿图136

7.3 树140

7.4 平面图149

7.5 独立集、覆盖集与匹配157

习题161

第8章 离散数学在计算机科学中的应用166

8.1 离散数学在关系数据库中的应用166

8.1.1 关系数据库简介166

8.1.2 关系代数与数据子语言169

8.2 数理逻辑在计算机科学中的应用175

8.2.1 数理逻辑在计算机硬件设计中的应用175

8.2.2 数理逻辑在人工智能语言中的应用176

8.2.3 谓词逻辑在程序正确性证明中的作用181

习题191

参考文献192