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第1章 函数概念与函数模型方法概述1

本章概要1

1.1 微积分的预备知识1

1.1.1 集合1

1.1.2 绝对值和邻域3

1.2 变量之间依存关系的数学模型——函数3

1.2.1 常量与变量4

1.2.2 函数的概念4

1.2.3 函数的四种特性6

1.2.4 反函数——逆向思维的实例8

1.3 微积分的主要研究对象——初等函数9

1.3.1 基本初等函数9

1.3.2 复合函数11

1.3.3 初等函数12

1.4 构建函数模型的步骤和方法的概述12

1.4.1 数学模型12

1.4.2 数学模型的构建过程13

本章小结13

【习题一】13

习题参考答案15

第2章 变量无限变化和连续变化的数学模型——极限·连续16

本章概要16

2.1 函数极限的概念16

2.1.1 x→∞时，函数f（x）的极限16

2.1.2 x→x0时，函数f（x）的极限18

【练习2-1】20

2.2 无穷小与无穷大20

2.2.1 无穷小20

2.2.2 无穷小的性质21

2.2.3 无穷大21

2.2.4 无穷大与无穷小的关系22

【练习2-2】23

2.3 求极限的方法——四则运算法则和两个重要极限公式23

2.3.1 极限的四则运算法则23

2.3.2 两个重要极限25

【练习2-3】27

2.4 函数的连续性28

2.4.1 函数的增量28

2.4.2 函数连续的概念28

2.4.3 连续的另一个定义29

2.4.4 初等函数的连续性30

2.4.5 闭区间上连续函数的性质31

【练习2-4】31

2.5 无穷小的比较31

2.5.1 无穷小的比较31

2.5.2 常用等价无穷小关系32

【练习2-5】34

本章小结34

学法建议35

【习题二】35

习题参考答案35

第3章 函数的局部变化率和局部改变量的估值问题——导数·微分37

本章概要37

3.1 函数的局部变化率——导数38

3.1.1 两个实例38

3.1.2 导数的定义39

3.1.3 曲线在已知点的切线斜率——导数的几何意义40

3.1.4 函数y=f（x）在区间的导数40

3.1.5 可导与连续的关系41

【练习3-1】42

3.2 求导数的方法——基本求导公式和运算法则42

3.2.1 导数的基本公式42

3.2.2 导数的四则运算法则44

3.2.3 复合函数的导数法则44

3.2.4 隐函数的求导法45

【练习3-2】47

3.3 高阶导数48

3.3.1 二阶导数48

3.3.2 n阶导数48

【练习3-3】49

3.4 函数局部改变量的估值问题——微分及其应用50

3.4.1 微分概念50

3.4.2 如何计算微分50

3.4.3 微分的应用51

【练习3-4】52

本章小结53

学法建议54

【习题三】54

习题参考答案55

第4章 导数的应用问题——最值问题及函数的性质57

本章概要57

4.1 函数的最大值与最小值以及极大值和极小值57

4.1.1 油井问题的提出57

4.1.2 最大值和最小值——函数的整体性质58

4.1.3 闭区间上连续函数的最值定理58

4.1.4 极大值和极小值——函数的局部性质60

4.1.5 函数的极值的求法60

4.1.6 闭区间上连续函数的最大值和最小值61

4.1.7 油井问题的最优解62

【练习4-1】63

4.2 函数图形的形状——单调性、凹向与极值判定法64

4.2.1 函数的单调性64

4.2.2 函数极值的一阶导数、二阶导数检验法65

4.2.3 函数图形的凹向与拐点66

【练习4-2】68

4.3 曲线的弯曲程度的描述——曲率68

4.3.1 曲率68

4.3.2 曲率半径70

【练习4-3】71

4.4 洛必达法则71

【练习4-4】72

本章小结73

学法建议74

【习题四】74

习题参考答案74

第5章 微分的逆运算问题——不定积分76

本章概要76

5.1 不定积分及其性质76

5.1.1 逆向思维又一例——原函数与不定积分的概念76

5.1.2 不定积分的几何意义77

5.1.3 不定积分的基本性质78

5.1.4 如何计算不定积分之一——直接积分法78

【练习5-1】80

5.2 如何计算不定积分之二——换元积分法80

5.2.1 第一换元积分法（凑微分法）80

5.2.2 第二换元积分法83

【练习5-2】84

5.3 如何计算不定积分之三——分部积分法84

【练习5-3】87

本章小结88

学法建议89

【习题五】89

习题参考答案90

第6章 求总量的问题——定积分及其应用92

本章概要92

6.1 定积分的概念92

6.1.1 定积分的定义92

6.1.2 定积分的几何意义93

6.1.3 定积分的性质93

6.1.4 怎样求定积分？f(x)dx的值94

【练习6-1】94

6.2 计算定积分的一般方法——换元积分法和分部积分法95

6.2.1 定积分的换元积分法95

6.2.2 定积分的分部积分法96

【练习6-2】97

6.3 定积分概念的拓展——无穷区间上的广义积分97

【练习6-3】98

6.4 再谈定积分的概念99

6.4.1 引例99

6.4.2 定积分的概念100

【练习6-4】100

6.5 定积分的魅力展现——在若干问题的应用101

6.5.1 定积分的微元法101

6.5.2 平面图形的面积101

6.5.3 体积问题103

6.5.4 求平面曲线曲线的弧长的方法104

6.5.5 求变力做功的方法106

6.5.6 求液体对侧面的压力的方法106

【练习6-5】107

本章小结107

学法建议108

【习题六】109

习题参考答案109

第7章 含变化率的方程问题——常微分方程111

本章概要111

7.1 微分方程的初步认识——基本概念111

7.1.1 微分方程的定义111

7.1.2 微分方程的解与通解112

7.1.3 初始条件与特解112

7.2 一阶微分方程113

7.2.1 可分离变量的微分方程113

7.2.2 一阶线性微分方程114

7.3 二阶常系数线性微分方程116

7.3.1 二阶常系数齐次线性微分方程116

7.3.2 二阶常系数非齐次线性微分方程118

7.4 用微分方程解决实际问题的方法120

本章小结121

学法建议121

【习题七】122

习题参考答案122

第8章 用Mathematica数学软件来认识一元函数微积分123

8.1 Mathematica的启动和运行123

8.2 数学表达式的输入124

8.2.1 数学表达式的输入125

8.2.2 特殊字符的输入125

8.3 函数与作图125

8.3.1 系统函数125

8.3.2 基本的二维图形126

8.3.3 数据集合的图形128

8.4 求解一元函数微积分131

8.4.1 求极限131

8.4.2 求导数132

8.4.3 计算积分134

8.5 求解常微分方程137

附录 初等数学常用公式139

参考文献143