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第1篇 微积分2

1.1 函数2

1.1.1 求几类函数的表达式2

题型1.1.1.1 已知函数，求其反函数的表达式2

题型1.1.1.2 求与复合函数有关的函数表达式2

1.1.2 奇、偶函数的判别及其性质的应用4

题型1.1.2.1 判别经四则运算后的函数的奇偶性4

题型1.1.2.2 判别自变量带相反符号的两同名函数的代数和的奇偶性4

题型1.1.2.3 判别复合函数的奇偶性4

题型1.1.2.4 判别原函数F（x）=∫ x 0 f（t）dt的奇偶性5

题型1.1.2.5 判别函数（a k x ±1）／（a k x ? 1）的奇偶性（a＞0，a≠1，k≠0）5

题型1.1.2.6 奇、偶函数的几个性质的应用5

1.1.3 函数有界性的判定6

题型1.1.3.1 判定在有限开区间内连续函数的有界性6

题型1.1.3.2 判定在无穷区间内连续函数的有界性7

题型1.1.3.3 判定分段连续函数的有界性7

1.1.4 讨论函数的周期性8

1.2 极限、连续10

1.2.1 极限的概念与基本性质10

题型1.2.1.1 正确理解极限定义中的“ε、N”，“ε、δ，“ε、X”语言的含义10

题型1.2.1.2 正确区别无穷大量与无界变量10

题型1.2.1.3 正确运用极限的保序性、保号性12

题型1.2.1.4 运用极限的四则运算法则或夹逼准则判别极限的存在性12

1.2.2 求未定式极限13

题型1.2.2.1 求0／0或∞／型极限13

题型1.2.2.2 求0·∞型极限16

题型1.2.2.3 求∞-∞型极限17

题型1.2.2.4 求幂指函数型（0 0型、∞ 0型、1 ∞型）极限17

1.2.3 求数列极限20

题型1.2.3.1 求无穷多项和的极限20

题型1.2.3.2 求由递推关系式给出的数列极限23

1.2.4 求几类子函数形式特殊的函数极限24

题型1.2.4.1 求需先考察左、右极限的函数极限24

题型1.2.4.2 求含1/x的函数极限26

题型1.2.4.3 求含根式差的函数极限26

题型1.2.4.4 求含指数函数差的函数极限27

题型1.2.4.5 求含幂指函数的函数极限27

题型1.2.4.6 求含lnf（x）的函数极限，其中lim f x→□（x）=1 28

题型1.2.4.7 求含有界变量为因子的函数极限28

题型1.2.4.8 求含参变量x的函数极限lim？ n→∞（x,n）29

1.2.5 已知含未知函数的极限，求与该函数有关的极限31

1.2.6 求极限式中的待定常数32

题型1.2.6.1 求有理函数极限式中的待定常数32

题型1.2.6.2 确定分式函数极限式中的待定常数33

题型1.2.6.3 求∞±∞型的根式极限式中的待定常数34

题型1.2.6.4 求含变项积分的极限式中的待定常数35

1.2.7 比较和确定无穷小量的阶35

题型1.2.7.1 比较无穷小量的阶36

题型1.2.7.2 确定无穷小量为几阶无穷小量37

题型1.2.7.3 利用无穷小量阶的比较求待定常数38

1.2.8 讨论函数的连续性及间断点的类型39

题型1.2.8.1 判别初等函数的连续性39

题型1.2.8.2 讨论分段函数的连续性40

题型1.2.8.3 讨论含参变量的极限式所定义的函数的连续性41

题型1.2.8.4 判别函数间断点的类型42

1.2.9 连续函数性质的两点应用43

题型1.2.9.1 利用连续函数性质证明中值等式命题43

题型1.2.9.2 证明方程实根的存在性44

1.2.10 极限在经济活动分析中的应用45

题型1.2.1 0.1 计算连续复利45

题型1.2.1 0.2 求解贴现问题46

1.3 一元函数微分学48

1.3.1 导数定义的三点应用48

题型1.3.1.1 讨论函数在某点的可导性48

题型1.3.1.2 利用导数定义求某些函数的极限51

题型1.3.1.3 利用导数定义求函数表达式53

1.3.2 讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性53

题型1.3.2.1 讨论分段函数的可导性53

题型1.3.2.2 讨论分段函数的导函数的连续性54

题型1.3.2.3 讨论一类特殊分段函数在其分段点的连续性、可导性及其导函数的连续性55

1.3.3 讨论含绝对值的函数的可导性56

题型1.3.3.1 讨论绝对值函数|f（x）|的可导性56

题型1.3.3.2 讨论f（x）=|？（x）|g（x）的可导性56

1.3.4 求一元函数的导数和微分57

题型1.3.4.1 求复合函数的一阶导数与二阶导数57

题型1.3.4.2 求反函数的导数58

题型1.3.4.3 求由一个方程所确定的隐函数的导数59

题型1.3.4.4 求分段函数的一阶、二阶导数61

题型1.3.4.5 求带绝对值的函数的导数61

题型1.3.4.6 求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数61

题型1.3.4.7 求由参数方程所确定的函数的导数62

题型1.3.4.8 求某些简单函数的高阶导数63

题型1.3.4.9 求一元函数的微分65

1.3.5 利用函数的连续性、可导性确定其待定常数67

题型1.3.5.1 利用函数的连续性确定其待定常数67

题型1.3.5.2 根据函数的可导性确定待定常数68

1.3.6 利用微分中值定理的条件及其结论解题69

1.3.7 利用罗尔定理证明中值等式70

题型1.3.7.1 证明存在ξ ∈ （a,b），使cf′（ξ）=bg′（ξ），其中c，b为常数70

题型1.3.7.2 证明存在ξ ∈ （a，b），使f（ξ）g′（ξ）＋f′（ξ）g（ξ）=071

题型1.3.7.3 证明存在ξ ∈ （a，b），使f′（ξ）g（ξ）-f（ξ）g′（ξ）=0（g（ξ）≠0）72

题型1.3.7.4 证明存在ξ ∈ （a，b），使f′（ξ）＋g′（ξ）f（ξ）=072

题型1.3.7.5 证明存在ξ ∈ （a，b），使f′（ξ）＋g′（ξ）[f（ξ）-bξ]=b73

题型1.3.7.6 已知函数在多点处的取值情况，证明有关的中值等式74

题型1.3.7.7 证明存在ξ∈（a，b），使nf（ξ）＋ξf′（ξ）=0（n为正整数）74

题型1.3.7.8 利用定积分等式或变限定积分证明中值等式75

题型1.3.7.9 证明存在ξ ∈ （a，b），使F（k）（ξ）=0（k≥2）77

1.3.8 拉格朗日中值定理的几点应用77

题型1.3.8.1 证明与函数差值有关的中值命题78

题型1.3.8.2 证明函数与其导数的关系79

题型1.3.8.3 证明含或可化为函数差值的不等式81

题型1.3.8.4 求中值的（极限）位置81

1.3.9 利用柯西定理证明中值等式82

题型1.3.9.1 证明两函数差值之比的中值等式82

题型1.3.9.2 证明两函数导数之比的中值等式83

1.3.10 证明多个中值所满足的中值等式84

1.3.11 利用导数讨论函数性态86

题型1.3.11.1 证明函数在区间I上是一个常数86

题型1.3.11.2 证明（判别）函数的单调性87

题型1.3.11.3 利用极限式讨论函数是否取得极值88

题型1.3.11.4 利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点89

题型1.3.11.5 利用导数（值）的不等式，讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点90

题型1.3.11.6 求函数的单调区间、极值、最值90

题型1.3.11.7 求曲线凹凸区间与拐点92

题型1.3.11.8 求曲线的渐近线94

题型1.3.11.9 利用函数性态作函数图形96

题型1.3.11.1 0已知函数的图形，确定其函数或其导函数性质97

题型1.3.11.1 1利用导函数的图形，确定原来函数的性态98

1.3.12 利用函数性态，讨论方程的根98

题型1.3.12.1 讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数98

题型1.3.12.2 讨论含参数的方程实根的个数及其所在区间99

1.3.13 利用导数证明不等式99

题型1.3.13.1 已知F（a）≥0（或F（b）≥0），证明x＞a（或x＜b）时F（x）＞0100

题型1.3.13.2 证明含常数加项的不等式101

题型1.3.13.3 利用函数导数值的大小比较函数值的大小103

题型1.3.13.4 证明含两个变量（常数）的函数（数值）不等式103

1.3.14 一元函数微分学的几何应用104

题型1.3.14.1 求平面曲线的切线方程和法线方程104

题型1.3.14.2 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题105

题型1.3.14.3 求解与两曲线相切的有关问题106

1.3.15 导数在经济活动分析中的应用107

题型1.3.15.1 计算弹性108

题型1.3.15.2 计算边际函数109

题型1.3.15.3 求解与边际和弹性有关的应用题109

题型1.3.15.4 求解经济应用中一元函数的最值问题111

1.4 一元函数积分学113

1.4.1 原函数的判定及其求法113

题型1.4.1.1 函数存在原函数的条件113

题型1.4.1.2 原函数的判定114

题型1.4.1.3 求分段函数的原函数114

题型1.4.1.4 利用积分运算与微分运算的互逆关系求解与原函数的有关问题115

题型1.4.1.5 已知函数的原函数，求该函数或与该函数有关的不定积分116

1.4.2 计算不定积分116

题型1.4.2.1 计算f（x）g（x）dx116

题型1.4.2.2 计算简单无理函数的不定积分117

题型1.4.2.3 求∫ 1／（ax＋b）k f[1／（ax＋b）k-1]dx，其中k≠1为正实数119

题型1.4.2.4 求∫ f（x）／gx dx120

题型1.4.2.5 求被积函数的分母为相差常数的两函数乘积的积分122

题型1.4.2.6 求被积函数含反三角函数为因子函数的积分122

1.4.3 利用定积分性质计算定积分123

题型1.4.3.1 利用其几何意义计算定积分123

题型1.4.3.2 计算对称区间上的定积分124

题型1.4.3.3 计算周期函数的定积分125

题型1.4.3.4 利用定积分的常用计算公式求其值125

题型1.4.3.5 计算被积函数含函数导数的积分126

题型1.4.3.6 比较和估计定积分的大小127

题型1.4.3.7 求解含积分值为常数的函数方程128

题型1.4.3.8 计算几类需要分子区间积分的定积分129

题型1.4.3.9 计算含参数的定积分130

题型1.4.3.10 求需换元计算的定积分131

题型1.4.3.11 求连续函数的定积分的极限132

1.4.4 求解与变限积分有关的问题133

题型1.4.4.1 求含变限积分的未定式极限133

题型1.4.4.2 求变限积分的导数135

题型1.4.4.3 求变限积分的定积分136

题型1.4.4.4 计算分段函数的变限积分137

题型1.4.4.5 讨论变限积分函数的性态137

1.4.5 证明定积分等式138

题型1.4.5.1 证明定积分的变换公式138

题型1.4.5.2 证明定积分中值等式140

1.4.6 定积分不等式的常用证法141

14.7 计算反常积分145

题型1.4.7.1 计算无穷区间上的反常积分145

题型1.4.7.2 判别∫ ＋∞ a dx／xp与∫ ＋∞ a dx／x（1nx）p（a＞）∫p （a＞0）的敛散性148

题型1.4.7.3 计算无界函数的反常积分148

题型1.4.7.4 判别∫ b a dx／（b－x）与∫ b a dx／（x－a）p的敛散性150

题型1.4.7.5 判别混合型反常积分的敛散性，如收敛计算其值150

1.4.8 定积分的应用151

题型1.4.8.1 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积151

题型1.4.8.2 求旋转体体积152

题型1.4.8.3 求解几何应用与最值问题相结合的应用题155

题型1.4.8.4 已知曲线所围平面图形的面积（或其旋转体体积）反求该曲线157

题型1.4.8.5 求函数在区间上的平均值157

题型1.4.8.6 由变化率求原经济函数或其变化值158

题型1.4.8.7 由边际函数求（最优）总函数158

1.5 多元函数微积分学160

1.5.1 二（多）元函数微分学中的几个概念160

题型1.5.1.1 判别二元函数的极限、连续、可偏导及可微之间的相互关系161

题型1.5.1.2 用定义判别二元函数在某点是否可微162

1.5.2 计算偏导数与全微分163

题型1.5.2.1 计算显函数的偏导数163

题型1.5.2.2 求带抽象函数记号的复合函数偏导数164

题型1.5.2.3 计算由一个方程确定的隐函数的（偏）导数168

题型1.5.2.4 求由方程组确定的隐函数的（偏）导数168

题型1.5.2.5 变换含一阶、二阶偏导数的表达式170

题型1.5.2.6 求二元函数的全微分170

1.5.3 多元函数微分学的应用171

题型1.5.3.1 求二元函数的极值和最值171

题型1.5.3.2 求二（多）元函数的条件极值173

1.5.4 用直角坐标系计算二重积分175

题型1.5.4.1 根据积分区域选择积分次序计算二重积分175

题型1.5.4.2 根据被积函数选择积分次序计算二重积分176

题型1.5.4.3 证明二次积分等于单积分178

题型1.5.4.4 利用对称性简化计算二重积分178

题型1.5.4.5 分块计算二重积分181

题型1.5.4.6 计算无界区域上较简单的二重积分183

1.5.5 用极坐标系计算二重积分185

题型1.5.5.1 计算圆域x2 ＋y2≤a（a＞0）上的二重积分185

题型1.5.5.2 计算圆域x2 ＋y2≤2ax（a＞0）上的二重积分186

题型1.5.5.3 计算圆域x2 ＋y2≤-2ax（a＞0）上的二重积分186

题型1.5.5.4 计算圆域x2 ＋y2≤2by（b＞0）上的二重积分187

题型1.5.5.5 计算圆域x2 ＋y2≤-2by（b＞0）上的二重积分188

题型1.5.5.6 计算圆域x2＋y2≤2ax＋2by＋c上的二重积分188

1.5.6 交换二次积分次序与转换二次积分190

题型1.5.6.1 交换二（累）次积分的积分次序190

题型1.5.6.2 转换二次积分191

1.5.7 求含二重积分的极限192

1.6 无穷级数193

1.6.1 判别常数项级数的敛散性193

题型1.6.1.1 判别正项级数的敛散性193

题型1.6.1.2 判别交错级数的敛散性197

题型1.6.1.3 判别任意项级数的敛散性199

1.6.2 求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域204

1.6.3 求级数的和函数207

题型1.6.3.1 求∞∑n=1 P（n）xn的和函数，其中P（n）为n的多项式207

题型1.6.3.2 求∞∑n=0 1／Q（n）xn的和函数，其中Q（n）为n的多项式208

题型1.6.3.3 求其系数分母为连乘积的幂级数的和函数210

题型1.6.3.4 求数项级数的和212

1.6.4 初等函数展为幂级数与简单幂级数求和213

题型1.6.4.1 初等函数f （x）展为幂级数213

题型1.6.4.2 求函数f（x）的n阶导数f（n）（x0）216

1.7 常微分方程与差分方程217

1.7.1 求解一阶线性微分方程217

题型1.7.1.1 求解变量可分离的微分方程217

题型1.7.1.2 求解齐次微分方程217

题型1.7.1.3 求解一阶线性微分方程218

题型1.7.1.4 求解以x为因变量，y为自变量的一阶微分方程220

题型1.7.1.5 求以分段函数为非齐次项或系数的一阶微分方程的连续解220

题型1.7.1.6 求解可化为一阶微分方程的函数方程221

1.7.2 求解二阶常系数线性微分方程222

题型1.7.2.1 求解二阶常系数齐次线性微分方程223

题型1.7.2.2 求解二阶常系数非齐次线性微分方程224

题型1.7.2.3 变换已知的函数方程或微分方程为新的形式，并求其解225

题型1.7.2.4 已知线性微分方程，求具有某性质的特解227

1.7.3 已知特解，反求其二阶线性常系数方程228

题型1.7.3.1 已知特解，反求其二阶齐次方程228

题型1.7.3.2 已知特解，反求其二阶非齐次方程229

1.7.4 微分方程的简单应用229

题型1.7.4.1 求解与几何量有关的问题229

题型1.7.4.2 求解简单的经济应用题230

1.7.5 一阶常系数线性差分方程231

题型1.7.5.1 求解一阶常系数线性齐次差分方程232

题型1.7.5.2 求解一阶非齐次差分方程232